数学B：確率分布と統計的な推測②同時分布 

初めに

　本記事では、同時分布の定義、確率変数の独立性、2変数以上の期待値、分散についてまとめる。

同時分布

定義（同時分布）

　確率変数 \(X, Y\) と実数 \(a, b\) に対し、\(X = a, Y = b\) が同時に成り立つ確率を \(P(X = a, Y = b)\) と表す。

　確率変数 \(X, Y\) の取りうる値とその確率との対応関係を \(X, Y\) の同時確率分布という。

　確率変数 \(X\) の取りうる値を \(x_1, x_2, \cdots, x_m\), 確率変数 \(Y\) の取りうる値を \(y_1, y_2, \cdots, y_n\) とする。このとき、
\[
P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij} \ (i = 1, 2, \cdots, m, j = 1, 2, \cdots, n)
\]
を同時確率関数という。同時確率分布は次のように表される。

\(X＼Y\)	\(y_1\)	\(y_2\)	\(\cdots\)	\(y_n\)	計
\(x_1\)	\(p_{11}\)	\(p_{12}\)	\(\cdots\)	\(p_{1n}\)	\(p_{1}\)
\(x_2\)	\(p_{21}\)	\(p_{22}\)	\(\cdots\)	\(p_{2n}\)	\(p_{2}\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_m\)	\(p_{m1}\)	\(p_{m2}\)	\(\cdots\)	\(p_{mn}\)	\(p_{m}\)
計	\(q_1\)	\(q_2\)	\(\cdots\)	\(q_n\)	\(1\)

　ところで、
\[\begin{align}
P(X = x_i) &= \sum_{j = 1}^n p_{ij} = p_i \ (i = 1, 2, \cdots, m) \notag \\
P(X = y_j) &= \sum_{i = 1}^m p_{ij} = q_j \ (j = 1, 2, \cdots, n)\notag \\
\end{align}\]
をそれそれ \(X, Y\) の周辺確率関数といい, その分布を周辺分布という。周辺分布は次のようになる。

\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(\cdots\)	\(x_m\)	計
\(P\)	\(p_{1}\)	\(p_{2}\)	\(\cdots\)	\(p_{m}\)	\(1\)

\(Y\)	\(y_1\)	\(y_2\)	\(\cdots\)	\(y_n\)	計
\(P\)	\(q_{1}\)	\(q_{2}\)	\(\cdots\)	\(q_{n}\)	\(1\)

定義（確率変数の独立性）

　確率変数 \(X, Y\) が取りうる値をそれぞれ \(x_i \ (i = 1, 2, \cdots, m)\), \(y_j \ (j = 1, 2, \cdots, n)\) とする。

　すべての \(i, j\) において、
\[
P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) P(Y = y_j)
\]
が成り立つとき、\(X, Y\) は独立であるという。

補足

　2つの確率変数において、上記のように独立を定義したが、3つ以上の場合についても同様に定義される。

確率変数の期待値

　実数 \(a, b\), 確率変数 \(X, Y\) において、次が成り立つ。
\[\begin{align}
E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y) \notag
\end{align}\]

　また、\(X, Y\) が独立のとき、次が成り立つ。
\[
E(XY) = E(X)E(Y)
\]

証明

　確率変数 \(X, Y\) が取りうる値をそれぞれ \(x_i \ (i = 1, 2, \cdots, m)\), \(y_j \ (j = 1, 2, \cdots, n)\) とする。また、同時確率関数を \(P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}\) とする。
\[\begin{align}
E(a X + b Y) &= \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n (a x_i + b y_j) p_{ij} \notag \\
&= \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a x_i p_{ij} + \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n b y_j p_{ij} \notag \\
&= a \sum_{i = 1}^m x_i \sum_{j = 1}^n p_{ij} + b \sum_{j = 1}^n y_j \sum_{i = 1}^m p_{ij} \notag \\
&= a \sum_{i = 1}^m x_i p_i + b \sum_{j = 1}^n y_j q_j \notag \\
&= a E(X) + b E(Y) \notag
\end{align}\]

　また、\(X, Y\) が独立のとき、\(p_{ij} = p_i q_j\) であるので
\[\begin{align}
E(XY) &= \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n x_i y_j p_{ij} \notag \\
&= \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n x_i y_j p_i q_j \notag \\
&= \sum_{i = 1}^m x_i p_i \sum_{j = 1}^n y_j q_j \notag \\
&= \sum_{i = 1}^m x_i p_i E(Y) \notag \\
&= E(Y) \sum_{i = 1}^m x_i p_i \notag \\
&= E(Y) E(X) \notag \\
&= E(X) E(Y) \notag
\end{align}\]

確率変数の和の分散、共分散

　確率変数 \(X, Y\) において、次が成り立つ。
\[\begin{align}
Cov(X, Y) &= E(XY) – E(X)E(Y) \notag \\
V(X \pm Y) &= V(X) \pm Cov(X, Y) + V(Y) \notag
\end{align}\]
　\(X\) と \(Y\) が独立のとき、次が成り立つ。
\[\begin{align}
Cov(X, Y) &= 0 \notag \\
V(X \pm Y) &= V(X) + V(Y) \notag
\end{align}\]
ところで、\(Cov(X, Y)\) は \(X\) と \(Y\) の共分散である。

証明

　\(E(X) = \mu_x, E(Y) = \mu_y\) とする。
\[\begin{align}
Cov(X, Y) &= E((X – \mu_x)(Y – \mu_y)) \notag \\
&= E(XY – \mu_x Y – \mu_y X + \mu_x \mu_y) \notag \\
&= E(XY) – \mu_x E(Y) – \mu_y E(X) + E(\mu_x \mu_y) \notag \\
&= E(XY) – \mu_x E(Y) – \mu_y E(X) + \mu_x \mu_y \notag \\
&= E(XY) – E(X)E(Y) – E(Y)E(X) + E(X)E(Y) \notag \\
&= E(XY) – E(X)E(Y) \notag
\end{align}\]

また、
\[\begin{align}
V(X \pm Y) &= E((X \pm Y)^2) \ – \ \{E(X \pm Y)\}^2 \notag \\
&= E(X^2 \pm 2 XY + Y^2) \ – \ (E(X) \pm E(Y))^2 \notag \\
&= E(X^2) \pm 2 E(XY) + E(Y^2) \notag \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ – \ (\{E(X)\}^2 \pm 2 E(X)E(Y) + \{E(Y)\}^2) \notag \\
&= (E(X^2) \ – \ \{E(X)\}^2) \pm 2 (E(XY) \ – \ E(X)E(Y)) \notag \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ + (E(Y^2) \ – \ \{E(Y)\}^2) \notag \\
&= V(X) \pm Cov(X, Y) + V(Y) \notag
\end{align}\]

　\(X\) と \(Y\) が独立のとき、\(E(XY) = E(X)E(Y)\) より
\[
Cov(X, Y) = E(XY) \ – \ E(X)E(Y) = E(X)E(Y) \ – \ E(X)E(Y) = 0
\]
である。これにより \(V(X \pm Y) = V(X) + V(Y)\) は明らか。

練習問題

練習問題1

問題

　1枚のコインを投げる試行と1個のサイコロを振る試行同時に行った。このとき、コインが表の場合 \(X = 0\), 裏の場合 \(X = 1\) とする。また、サイコロの出た目を \(Y\) とすると、\(X\) と \(Y\) の同時分布は次のようになる。次の問いに答えよ。
(1) 次の同時分布表を完成させよ。

\(X＼Y\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	計
\(0\)
\(1\)
計

(2) 周辺確率 \(P(X = 1)\)の値を答えよ。

解答

練習問題2

問題

　白玉3個、赤玉2個が入った袋の中から同時に2個取り出して戻すことを2回行い、1回目と2回目に取り出す白玉の個数をそれぞれ \(X, Y\) とする。
(1) \(E(X)\) を求めよ。
(2) \(E(2X + Y)\) を求めよ。
(3) \(E(XY)\) を求めよ。
(4) \(V(X + Y)\) を求めよ。

解答

参考

高等学校数学B/確率分布と統計的な推測 - Wikibooks

ja.wikibooks.org