初めに
本記事では、大学数学で学ぶ厳密な連続の定義を用い、上に有界な単調増加数列は収束すること、下に有界な単調減少数列が収束することを証明する。
上に有界な単調増加数列は収束する
\(\{a_n\}\) を広義単調増加、かつ上に有界な実数の数列とする。このとき、数列 \(\{a_n\}\) は収束する。
補足１：広義単調増加
\(\{a_n\}\) が広義単調増加であるとは、任意の自然数 \(n\) において、\(a_n \leq a_{n + 1}\) をみたすことである。
イコールの場合を含むという意味で、広義としている。\(a_n < a_{n + 1}\) の場合は広義ではなくなる。
補足2：上に有界、下に有界
\(\{a_n\}\) が上に有界であるとは、任意の自然数 \(n\) において、\(a_n \leq K\) をみたす実数 \(K\) が存在することである。
つまり、ある数より大きくならないような数列を上に有界であるという。
また、任意の自然数 \(n\) において、\(L \leq a_n\) をみたす実数 \(L\) が存在することを下に有界であるという。
証明
条件より数列 \(\{a_n\}\) は上に有界より \(\{a_n\}\) の上限は実数である。よって
\[
\alpha = \sup \{a_n|n \geq 1\} < \infty
\]
とおける。上限の定義より任意の \(\epsilon > 0\) に対して、
\[
a_N > \alpha \ – \ \epsilon
\]
となる自然数 \(N\) が存在する。よって、\(\alpha \ – \ a_N < \epsilon\) となる。また、\(\alpha\) は \(\{a_n\}\) の上限より \(\alpha \ – \ a_N > 0\) である。つまり、
\[
0 < \alpha \ – \ a_N < \epsilon
\]
が成り立つ。\(\{a_n\}\) は条件より単調増加であるので、任意の \(\epsilon > 0\) において、
\[
n \geq N \Rightarrow |\alpha \ – \ a_n| < \epsilon
\]
をみたす自然数 \(N\) が存在すること、すなわち \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha}\) が示された。
下に有界な単調減少数列は収束する
\(\{a_n\}\) を広義単調減少、かつ下に有界な実数の数列とする。このとき、数列 \(\{a_n\}\) は収束する。
証明
上に有界な単調増加数列は収束するという事実を用いて示す。
数列 \(\{b_n\}\) を
\[
b_n = – a_n \ (n \in \mathbb{R})
\]
で定義する。すると数列 \(\{b_n\}\) は上に有界な単調増加数列となる。上に有界な単調増加数列は収束するため、
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta
\]
をみたす実数 \( \beta < \infty \) が存在する。よって、
\[\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta \notag \\
\lim_{n \rightarrow \infty} (- a_n) = \beta \notag \\
\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = – \beta \notag
\end{align}\]
であり、数列 \(\{a_n\}\) も収束することが示せた。
補足
上に有界な単調増加数列が収束する事実を用いて証明したが、上記の上に有界な単調増加数列が収束する証明と同じ手順でも証明できる。
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